"Не знающий геометрии, да не войдет в Академию".
(Надпись над воротами)
Идущая от Евклида пропедевтика геометрии привязана к абстрактам плоскости и треугольника как планарной фигуры. В этом смысле она преподается с детства всем и каждому как именно инженерная наука, но не как наука об основоположениях природных форм, хотя и выдается за таковую. Планиметрия начинается с треугольника (серьезно поддержанная в постевклидов период в качестве архетипа догматом христианской троичности), но никак не с двуугольника, о котором в школах едва ли вообще рассказывают. Но именно двуугольник и его стереометрические сферические формы чаще всего можно встретить в природе (особенно в живой) в виде форм глаза, губ, листьев, раковин моллюсков, а также проекций подобных объектов на поверхностях (в том числе плоских) в виде тени, а также образованные двуугольником стереометрические фигуры осоэдра и диэдра, которые также очевидно наблюдаемы в формах многих плодов и злаков. Тогда как плоский и ровный треугольник, наипаче прямоугольный, усмотреть в природной среде, то есть не в мире артефактов, куда сложнее. Да и в мире наиболее древних артефактов, создаваемых человеком, мы также видим двуугольные формы, но не мыслим и не называем их таковыми просто потому, что нас не учили их так видеть, называть и понимать. Таковы лодки и ткацкие челноки, простейшие купола, образованные краевыми арками для тентовых конструкций, а также некоторые булавы и шестоперы. Не имея такого, более фундаментального, хотя и очевидного в повседневном усмотрении, представления о геометрических формах, мы не можем широко мыслить и использовать их геометрические возможности для создания механических, то есть собственно физических, систем и решений, полагая таковые решения в древности удачной случайной находкой либо устаревшей технологической архаикой, основываясь при этом на весьма поверхностном эстетическом суждении. Между тем, основанные на таких конструкциях формы отличаются большой прочностью, надежностью и гибкостью.
В школах же начала геометрии, как правило, представляются в виде идей Евклида и Декарта, то есть весьма производных от неких праоснов и модельных, скрытых не только от неофитов, но во многих случаях и от самих учителей, поскольку далеко не все они искушены в истории своего предмета, и далеко не всегда предъявляют весь перечень условий, налагаемых на рассуждение о геометрии, тогда как сами неофиты способны наблюдать отмеченные альтернативы естественным образом. Эти производные идеи, будучи великими, но представляя более сложные вещи, едва ли не повсеместно излагаются с нарушением декартова же принципа восхождения от простого к сложному.
Между тем, двуугольник оптимальным образом сочетает замкнутое и разомкнутое, прямое и скругленное. Он также представляет простой период осцилляции струны, фиксированной в двух противоположных точках – элемента одного их первых физических приборов, через который пытались постичь основу всех физических процессов. И как раз именно он, а не треугольник, определяет момент связи элементарнейшей геометрии с элементарнейшей же механикой. Двуугольник в этой связи показывает (опять же, в простейшем, хотя и в незамечаемом, виде), что переход из некоторой размерности в более высокую осуществляется именно в процессе осцилляции, поскольку двуугольник мыслим как поперечно колеблющийся отрезок двумерной по сути прямой, и образован максимами пучности этого отрезка во все стороны по двум координатам из трех располагаемых во время колебания и двух – до него.
В своем физическом выражении двуугольник представляет идею coincidentia натяжения и сжатия, а его стереометрическая аналогия прямым образом рассмотрена в работе Р.Б.Фуллера "Tensegrity" и в его соавторской работе "Synergetics exploration...". Также осоэдр и диэдр, элементарные формы коих представляют одну и ту же фигуру, образованную двумя двуугольниками, в различии своих геометрических идей подобны различию аксиально и экваториально преувеличенных асимметрий окружности или шара также рассмотренному Фуллером в "Tensegrity": аксиальную представляет вытянутый осоэдр, тогда как экваториальную – сплющенный диэдр. "Американский Леонардо" был очарован треугольником, не случайно его другой научный эпитет – "человек, изобретший треугольник". Однако и планиметрически, и стереометрически, и арифметически треугольнику предшествует двуугольник, особенно если обе эти фигуры рассматривать как полусферы диэдра.
Примечательно, что и выпуклый двуугольник в его привычном представлении как элемент осоэдра также является частным случаем двуугольника вообще, поскольку гиппократовы лунки (кои предложены, кстати, Гиппократом Хиосским до Евклида) также являются двуугольниками. Именно они, на пару, исчерпывают универсум выпуклых двуугольников, известных насельникам трехмерного пространства, а вместе c теми, что имеют один вогнутый (обратный) угол и оба вогнутых (обратных) угла – универсум двуугольников вообще. Если, конечно, не считать двуугольником странную фигуру, представляющую разомкнутые дуги, противонаправленные друг к другу внешними вершинами: если это и двуугольник (хотя где здесь углы?), то лишь в смысле особого его задания через функцию в декартовой системе координат (или в какой еще). И если не рассматривать двуугольник для случая 3+n мерного континуума.
Еще одним важным свойством двуугольника, равно как свойством едва ли не всех многоугольников, является его способность замыкаться внешними углами в сферическую фигуру, и тогда он будет представлять изогнутую восьмерку – два одноугольника, соединенных в одной вершине. Таким образом, вроде бы получается, что и двуугольник – не самая элементарная планиметрическая фигура, ибо ей предшествует одноугольник, образующий форму капли или петли. Так же, как двуугольники, одноугольники могут быть двояковыпуклыми (оживальными) либо выпукло-вогнутыми (лункообразными или серповидными), и вместе с теми, что имеют вогнутый (обратный) угол, исчерпывают универсум одноугольников вообще. Одноугольник с вогнутым углом также носит название "кордиоида", однако чаще рассматривается в смысле движения одной окружности относительно другой, а не в смысле "одноугольности". Таким образом, универсум двуугольников исчерпывается четырьмя элементарными фигурами, универсум одноугольников – тремя.
Если же вершину угла интерпретировать как вершину графа (что весьма распространено и допустимо), то такая фигура знаменует собой рефлексивное отношение. Здесь же обнаруживается еще более важный вывод: фигура окружности фундаментальнее фигуры классического евклидова треугольника, поскольку, представляя кривизну саму по себе, представляет идею линии инаковой размерности (относительно более спрямленной): оптимальная форма единственной стороны одноугольника должна быть округлой и выпуклой хотя бы на каком-то участке ее длины – в противном случае это уже будет фигура с большим числом углов. Треугольник образуется тремя окружностями (что в различных вариациях есть и у Фуллера, и у его ученика Снельсона), но создаваемая простым циркулем окружность, если мыслить ее как многоугольник с бесконечно-бессчетным множеством углов, может геометрически быть получена лишь бесконечно-бессчетным множеством треугольников. Одноугольник же знаменует геометрическое воплощение идеи coinsidentia интенции и экстенции, субстанции и протяженности. И если тетраэдр, по Фуллеру, есть "квант энергии" как таковой, поскольку "energy has shape", то двуугольник суть форма кванта как такового. С одноугольника же начинается всякий угол, петля составляет его геометрическую суть.
Также угол одноугольника мыслим как соединение или пересечение концов единственной линии, образующей дугу, а углы двуугольника – как образованные соединением или пересечением концов противолежащих тем или иным образом двух дуг. Но если угол мыслить все же именно как образующую две стороны петлю пренебрежительно малого радиуса (и тем более если мыслить его таким образом), то решение вопроса о геометрической первичности в пользу одноугольника перед двуугольником возможно лишь в рамках одного масштабного рассмотрения. А сама соотносительность одноугольника и двуугольника оказывается имеющей как межмерный (проекционный), так и межмасштабный характер, в каковом смысле связь категорий измерения и масштаба оказывается наблюдаемой на уровне элементарной геометрии. Ибо так или иначе "Everything in Universe is divisible by two. There will always be two poles to any system. Unity is two". В связи с чем представляется, что собственно одноугольник всегда есть, так или иначе, редукция или аспект двуугольника, в том числе в качестве проекции. И что Снельсон с его квантово-механическими экзерсисами умозрения "а-ля Де Бройль" все же был ближе к этим дотреугольным вещам, нежели Фуллер.
Но каковы механические свойства, образующие прикладную полезность одноугольника? С двуугольником на-гора понятно: он полезен в смысле линзовых несущих систем и сильфонных пружин. Если брать форму петли – то есть механизма замкнутой ванты, то здесь тоже понятно. А что насчет упругой реализации его формы? Очевидно, что из простых и наиболее известных артефактов он может рассматриваться как сомкнутый концами лук, с допущением достаточной гибкости его плечей для такого смыкания. Механически одно- и двуугольники – преимущественно пружины (которые при минимальной гибкости становятся рычагами). А значит, первая их функция – накопление и передача усилий. Поскольку это кольцевые структуры, но не совсем окружности, здесь представляется интересной их способность преобразовывать поперечные волны в продольные – в отличие от округлых в поперечном сечении колец, преобразующих любые волны, сообщаемые им извне, в поперечные. И здесь оказывается важным понять, каким образом приложение поперечных усилий к ним или их поперечная осцилляция создает с их стороны осцилляцию продольную, и в каком конструкционном порядке ее лучше обеспечить.
К чему все это? К началу разговора: именно такие вещи (и даже, наверное, именно эти) должны составлять основу преподавания геометрии для обеспечения свободы отдельной личности в физическом мире, а не встраивания ее в уже существующие инженерные системы разделения труда – в том числе и во вторую очередь для того, чтобы обеспечить эти системы адаптивностью и оптимальностью. Ибо именно эти вещи и формы являются наиболее востребованными в природе и наиболее простыми же и легче воспроизводимыми на основе ее ресурсов, несмотря на все сложности их постижения, выраженные языком высшей математики. Если простое определяется столь сложным образом, то это означает некий изъян в понимании природы, некую утраченную способность ее усмотрения. Это – еще одна из причин, по которой столь простая геометрия и связанная с нею механика не преподается в школах: ее объяснительные эквиваленты погружены в слишком экзотичный и сложный для неофитов контекст задач и алгебраических представлений. Не говоря про предметный разрыв в преподавании геометрии и механики: первая присутствует во второй в куда большей степени, нежели вторая в первой. Между тем, историческое прояснение делает эти вещи понятнее.
Добавить комментарий